Multiplicar un vector por un número k es cambiar su longitud por k veces. Cuando \(k < 0\) el vector se expandirá.
La longitud de un vector se calcula mediante la fórmula \(\sqrt {x^2 + y^2} \).
Vector normalizado - un vector de longitud unitaria, obtenido al dividir un vector por su longitud.
La suma de vectores se obtiene construyendo un segundo vector a partir del final del primero, y colocando el vector en el punto resultante.< /p>
Si x1, y1, x 2, y2 - coordenadas del primer y segundo vector, respectivamente, luego su suma es un vector con coordenadas \((x_1 + x_2) \)y \((y_1 + y_2) \).
Diferencia de vectores: la suma donde se invierte el segundo vector (multiplicado por -1).
Producto escalar de vectores - número, proyección de un vector sobre otro multiplicado por su longitud. En el caso más simple del espacio euclidiano ordinario, a veces se usa el espacio "geométrico". definición del producto escalar de vectores distintos de cero a y b como el producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo entre ellos:
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).
Para el producto escalar por un vector, la siguiente fórmula es válida:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\),
donde x1, y1, x2, y2: las coordenadas del primer y segundo vector, respectivamente, le permiten determinar si el segundo vector se encuentra en el mismo semiplano que el primero.< /p>
Producto cruzado de vectores - un vector en el espacio tridimensional perpendicular a ambos vectores, igual en longitud al área orientada del paralelogramo construido sobre estos vectores. El producto de las longitudes de los vectores por el seno del ángulo entre ellos, y el signo de este seno depende del orden de los operandos: alfa\)
Si se calcula usando coordenadas:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
donde x1, y1, x2, y2: las coordenadas del primer y segundo vector, respectivamente, le permiten determinar en qué lado de la línea se encuentra el primer vector, se encuentra el segundo vector . También te permite encontrar el área orientada de triángulos y paralelogramos.
La rotación de un vector se realiza utilizando la magia negra de los adeptos secretos de la geometría de Lobachevsky.
Para rotar un vector \(\alpha\) en sentido antihorario (\(\alpha <= 2 \cdot \pi\ ), acostúmbrate a los ángulos en radianes), necesitas multiplicar el vector por esta matriz:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>
¿Qué significa multiplicar un vector por una matriz? Digamos que las coordenadas de nuestro vector son x y y, entonces el producto de este vector y nuestra matriz será igual al vector con las coordenadas x' ; y y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\)
Entonces obtenemos un nuevo vector de exactamente la misma longitud, pero ya girado un ángulo A en sentido antihorario.