hình học


Định nghĩa và khái niệm

Vectơ là một đường có hướng đã xác định 2 tọa độ.


Nhân một vectơ với một số k sẽ thay đổi độ dài của nó bằng k lần. Khi \(k < 0\) vectơ sẽ mở rộng.

Độ dài của vectơ được tính theo công thức \(\sqrt {x^2 + y^2} \). 

Vectơ chuẩn hóa - một vectơ có độ dài đơn vị, thu được bằng cách chia một vectơ cho độ dài của nó.

Tổng các vectơ có được bằng cách tạo một vectơ thứ hai từ điểm cuối của vectơ thứ nhất và đặt vectơ đó vào điểm kết quả.< /p>

Nếu x1, y1, x 2, y2 - tọa độ của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai, khi đó tổng của chúng là một vectơ có tọa độ \((x_1 + x_2) \)và \((y_1 + y_2) \).

Chênh lệch vectơ - tổng mà vectơ thứ hai bị đảo ngược (nhân với -1).

Tích vô hướng của vectơ - số, hình chiếu của một vectơ lên ​​một vectơ khác nhân với chiều dài của nó. Trong trường hợp đơn giản nhất của không gian Euclide thông thường, không gian "hình học" đôi khi được sử dụng. định nghĩa tích vô hướng của các vectơ khác 0 a và b là tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:  
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos \alpha\).

Đối với tích vô hướng theo một vectơ, công thức sau đúng:
\(a \cdot b = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), 
trong đó x1, y1, x2, y2 - tọa độ tương ứng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai, cho phép bạn xác định xem vectơ thứ hai có nằm trong cùng nửa mặt phẳng với vectơ thứ nhất hay không.< /p>

Tích các vectơ - một vectơ trong không gian ba chiều vuông góc với cả hai vectơ, có độ dài bằng diện tích có hướng của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ này. Tích độ dài của các vectơ bằng sin của góc giữa chúng và dấu của sin này phụ thuộc vào thứ tự của các toán hạng:   alpha\) 

Nếu được tính bằng tọa độ:
\(a\ x\ b = x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1\),
trong đó x1, y1, x2, y2 - tọa độ tương ứng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai, cho phép bạn xác định vectơ thứ nhất nằm ở phía nào của đường thẳng, vectơ thứ hai nằm trên đó . Đồng thời cho phép bạn tìm diện tích có hướng của hình tam giác và hình bình hành.

Chuyển động quay của một vectơ được thực hiện bằng phép thuật hắc ám của các bậc thầy bí mật về hình học Lobachevsky.
Để xoay một vectơ bằng cách \(\alpha\) ngược chiều kim đồng hồ (\(\alpha <= 2 \cdot \ pi\ ), hãy làm quen với các góc tính bằng radian), bạn cần nhân vectơ với ma trận này:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -sin \alpha \\ \sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix}\)< /p>

Nhân một vectơ với một ma trận nghĩa là gì? Giả sử tọa độ của vectơ của chúng ta là x và y, thì tích của vectơ này và ma trận của chúng ta sẽ bằng với vectơ có tọa độ x' ; và y':
\(x' = x \cdot cos \alpha - y \cdot sin \alpha \\ y' = x \cdot sin \alpha + y \cdot cos\alpha\) Vì vậy, chúng tôi nhận được một vectơ mới có cùng độ dài chính xác, nhưng đã được quay một góc A ngược chiều kim đồng hồ.

Training problem

thay đổi đồng hồ

Có thể xác định dòng theo 5 cách khác nhau:
1) phương trình \( y = kx + b\); phương trình đầu tiên của một đường thẳng được dạy trong nhà trường thuận tiện cho việc xây dựng và tính toán bằng tay, nhưng việc sử dụng nó trong một chương trình rất bất tiện;
2) bằng 2 điểm nằm trên nó - thực sự khá tiện lợi, nhưng có ứng dụng khá hẹp;
3) bởi vectơ pháp tuyến của một đường thẳng và một điểm - vectơ pháp tuyến của một đường thẳng là một vectơ vuông góc với nó, thông tin thêm về nó bên dưới;
4) dọc theo vectơ chỉ phương của đường thẳng và điểm - vectơ chỉ phương là một vectơ nằm trên đường thẳng và vuông góc với vectơ pháp tuyến (tốt, logic), về nó bên dưới;
5) phương trình đường thẳng \(ax + by + c = 0\); phương trình cổ điển của một đường thẳng, trong hầu hết các trường hợp là phổ quát nhất. Bây giờ về anh ấy.

Tọa độ của vectơ pháp tuyến của một đường thẳng như vậy: \((a; b)\) hoặc \( (-a; -b)\).

Tọa độ vectơ chỉ phương của một đường thẳng như vậy: \((-b; a)\) hoặc \ ((b; -a)\).

Các đường thẳng song song nếu:
\({a1 \over b1} = {a2 \over b2}\).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (hãy cẩn thận: khoảng cách có thể âm, tất cả phụ thuộc vào điểm nằm ở phía nào của đường thẳng):
\({(a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c) \over \sqrt{a^2 + b^2}}\),
trong đó x1, y1 là tọa độ của điểm.

Dựng một đoạn thẳng từ một vectơ pháp tuyến và một điểm, hoặc một vectơ chỉ phương và một điểm, cuối cùng là dựng một đoạn thẳng từ 2 điểm, vì vậy hãy xem xét nó (nó cũng là cách được sử dụng phổ biến nhất ).

Nếu x1, y1, x 2, y2 - tọa độ của điểm thứ nhất và điểm thứ hai tương ứng, sau đó

\(a = y_1 - y_2\)

\(b = x_2 - x_1\)

\(c = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)

Training problem

Vasya lười biếng và việc phát hành Half-Life 3

Giao lộ

Giao điểm của đường

a1, b1, c1 - hệ số của dòng đầu tiên,
a2, b2, c2 - hệ số của dòng thứ hai,
x, y - giao điểm.

\(x = {-(c1 \cdot b2 - c2 \cdot b1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \\ y = {-(a1 \ cdot c2 - a2 \cdot c1) \over (a1 \cdot b2 - a2 \cdot b1)} \)

Chúng ta đã biết cách kiểm tra giao điểm của các đường thẳng (chúng không song song) và tìm giao điểm của chúng.

Bây giờ, hãy tìm hiểu cách thực hiện việc này với phân đoạn. 

Đầu tiên, hãy tìm hiểu cách đơn giản kiểm tra xem chúng có giao nhau hay không.

Các đoạn cắt nhau nếu các điểm cuối của đoạn này nằm ở hai phía đối diện của đoạn kia và ngược lại (điều này có thể dễ dàng kiểm tra bằng tích chéo).  Trường hợp duy nhất khi điều này không hoạt động - các đoạn nằm trên một đường thẳng. Đối với điều này, bạn cần kiểm tra giao điểm của cái gọi là. hộp giới hạn (hộp giới hạn của đoạn) - kiểm tra giao điểm của hình chiếu của các đoạn trên X và Y.

trục.

Giờ chúng ta đã biết cách kiểm tra giao điểm của các đoạn, hãy tìm hiểu cách tìm điểm (hoặc đoạn) giao nhau của chúng:
- nếu chúng không giao nhau thì rõ ràng không tồn tại điểm đó;
- nếu không, chúng ta sẽ dựng các đường thẳng mà các đoạn này nằm trên đó.

Nếu chúng song song, thì các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng và chúng ta cần tìm đoạn giao nhau - từ đường viền bên trái tối đa của các đoạn đến đường viền bên phải tối thiểu (đường điểm này nhỏ hơn điểm kia, nếu nó ở bên trái, trong trường hợp đẳng thức X-tọa độ - nếu nó thấp hơn).

Nếu các đường thẳng không song song, hãy tìm giao điểm của chúng và trả về.

Training problem

Chủ xe bán tải