Точка пересечения прямых
Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
M0 - точка пересечения прямых a и b на плоскости
Если прямые заданы уравнениями :
Координаты x и y точки пересечения двух невертикальных прямых можно легко найти с помощью следующих подстановок и преобразований.
Предположим, что две прямые имеют уравнения y = ax + c и y = bx + d , где a и b — угловые коэффициенты прямых, а c и d — пересечения прямых с осью y.
В точке пересечения прямых (если они пересекаются), обе координаты y будут совпадать:
ax + c = bx + d
Выполним преобразования
ax - bx = d - c,
x = (d - c) / (a - b).
Ищем координату y, подставляем значение x в первую формулу
y = a((d - c) / (a - b)) + c = (ad - bc) / (a - b)
Мы нашли координаты точки пересечения прямых.
При a = b две прямые параллельны. Если при этом c ≠ d, прямые различны и не имеют пересечений, в противном же случае прямые совпадают.
Пример
А1) Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями y=5x-3 и y=2x+7.
Решение
Используя формулу
P ((d - c) / (a - b), (ad - bc) / (a - b))
Получаем
P ((7-(-3)) / (5 - 2), (5 * 7 - 2 * -3) / (5 - 2)) = ((10 / 3), (41 / 3)) = (3.(3),13.(6))
Построим график
Если прямые заданы парами точек :
Рассмотрим пересечение двух прямых L1 и L2 на плоскости, где прямая L1 определена двумя различными точками (x1, y1) и (x2, y2), а прямая L2 — различными точками (x3, y3) и (x4, y4).
Пересечение P прямых L1 и L2 можно найти по формуле:
(Px, Py) = (((x1y2 - y1x2)(x3 - x4) - (x1 - x2)(x3y4 - y3x4)) / ((x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4)), ((x1y2 - y1x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3y4 - y3x4)) / ((x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4)))
Если прямые не пересекаются или совпадают, делители будут равны 0
(x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4) = 0
Пример
Найдите точку пересечения прямой A, проходящей через точки (5, 7) и (12, 6), и прямой B, проходящей через точки (3, 11) и (9, 2)
Решение
Используя формулу
(Px, Py) = (((x1y2 - y1x2)(x3 - x4) - (x1 - x2)(x3y4 - y3x4)) / ((x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4)), ((x1y2 - y1x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3y4 - y3x4)) / ((x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4)))
Получаем
(Px, Py) = ((54*6 - 7*93) / (-7*9 + 1*6), (-54*9 + 1*93) / (-7*9 + 1*6)) = (-327 / -57, -393 / - 57) = (5 14/19, 6 17/19)
Построим график
