Взаимное расположение точки и окружности

Существует 3 варианта взаимного расположения точки и окружности:

1. Точка находится внутри круга, ограниченного окружностью:

   

2. Точка находится на окружности:

   

3. Точка находится вне круга, ограниченного окружностью:

   

Как отличить друг от друга эти варианты?

Вспомним определения окружности и круга:

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Из определений следует, что точка принадлежит окружности тогда и только тогда, когда расстояние между ней и центром равно радиусу, открытому кругу (так называют круг, в который не входит его граница) — когда расстояние меньше радиуса, лежит вне круга — когда расстояние больше радиуса. Картинка ниже подтвеждает это.

А как найти расстояние между двумя точками?

Точно так же, как длину отрезка или вектора с началом в одной из этих точек и концом в другой, — через теорему Пифагора.

Пусть координаты первой точки, А — \(x_1\) и \(y_1\), а второй, B — \(x_2\) и \(y_2\):

Построим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат, и гипотенузой AB:

Катет OB в нём равен \(x_2-x_1\), катет OA — \(y_1-y_2\), значит, гипотенуза AB – корню из их суммы, т. е. \[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] Приведённая выше формула подходит для любых координат точек. Часто значения в скобках получаются отрицательными, в том числе и для катета OA в примере, но при возведении в квадрат знак теряется.

Ещё одна оговорка: при извлечении квадратного корня получается приближённое значение, которое может отличаться от привычного нам. Поэтому, если нам требуется сравнить расстояние с каким-то числом (что мы и собираемся сделать), удобнее не извлекать корень и сравнивать квадрат расстояния с квадратом числа.

Кстати, если вектор задан одной точкой, его длину можно определить по той же формуле, но чуть проще.

В самом деле, здесь \(x_1=y_1=0\), поэтому формула выглядит как \[\sqrt{x^2+y^2}\] Также ей можно пользоваться, когда одна из точек или один из концов отрезка находится в точке (0;0). Разумеется, здесь тоже действуют оговорки, описанные выше.

Формула

Теперь нетрудно вывести формулу, по которой можно определить взаимное расположение точки и окружности.

Если \(px\) и \(py\) — координаты точки, \(ox\) и \(oy\) — координаты центра окружности, \(r\) — радиус окружности, то

• при \((ox-px)^2+(oy-py)^2\lt{r^2}\) точка лежит внутри круга;

• при \((ox-px)^2+(oy-py)^2={r^2}\) точка лежит на окружности;

• при \((ox-px)^2+(oy-py)^2\gt{r^2}\) точка лежит вне круга.

Если лень читать