Взаимное расположение прямых

Пересечение прямых

Чтобы прямые пересекались, векторное произведение \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) не должно быть равно нулю: \[|\overline{a}| · |\overline{b}| · sin \, α\ ≠ 0\]

\(x_1y_2 - x_2y_1 ≠ 0\), где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) – координаты концов векторов \(A\) и \(B\) соответственно, отложенных из точки на плоскости \((0, 0)\).

\(|\overline{a}|*|\overline{b}|*sin \, α ≠0\)

Прямые перпендикулярны

Мы можем доказать перпендикулярность прямых с помощью векторов. Для перпендикулярности двух ненулевых векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство \(|a| · |b| · cos \, α = 0\)

Доказательство

Пусть векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) перпендикулярны. Докажем выполнение равенства \(|\overline{a}| · |\overline{b}| · cos \, α = 0\). По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, \(|\overline{a}| · |\overline{b}| · cos \, α = |a| · |b| · cos \, 90° = 0\), что и требовалось доказать.

Переходим ко второй части доказательства.

Теперь считаем, что \(|\overline{a}| · |\overline{b}| · cos \, α = 0\). Докажем, что векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) перпендикулярны.

Так как векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) ненулевые, то из скалярного произведения \(|\overline{a}| · |\overline{b}| · cos \, α\) следует, что \(cos \, α = \frac{|\overline{a}| · |\overline{b}| · cos \, α}{|\overline{a}| · |\overline{b}|} = \frac{0}{|\overline{a}| · |\overline{b}|} = 0\). Таким образом, косинус угла между векторами \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) равен нулю, следовательно, угол \(α\) равен 90°, что указывает на перпендикулярность векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\). Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано. Соответственно, прямые тоже перпендикулярны.

Прямые параллельны

Проверить параллельность прямых можно с помощью векторов: векторное произведение коллинеарных векторов должно быть равно нулю. \[|\overline{a}| · |\overline{b}| · sin \, α\ = 0\]

Получается, что прямые параллельны, если вектор одной прямой равен или является обратным для вектора другой прямой. С помощью этого можно также задать параллельную прямую, просто отпустив известный вектор из какой-либо точки. Перейдём к доказательству того, что прямые совпадают/не совпадают.

Прямые совпадают

Пусть данная точка(одна из двух точек, которыми мы задаём первую прямую) — \(C\), прямая задана двумя точками: \(A\) и \(B\), будем считать, \(A\) что лежит левее \(B\), или, если прямая вертикальна, \(A\) — ниже \(B\). Для определения местоположения точки рассмотрим векторное произведение двух векторов: с началом в точке \(A\) и концом в точке \(B\), с началом в точке \(A\) и концом в точке \(C\). Если векторное произведение равно нулю, то угол между векторами \(0\) или \(180\) градусов, т.е. векторы коллинеарны, значит точка лежит на прямой, то есть прямые совпадают. \[|\overline{a}| · |\overline{b}| · sin \, α\ = 0\]