В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом. На картинке ниже изображён вектор AB.
Для удобства направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть считается, что направленные отрезки одинаковой длины и направления представляют один и тот же вектор.
Координаты вектора определяются как разность координат точек его начала и конца. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: T1 = (x1, y1) и T2 = (x2, y2), то координаты вектора будут: a = T2 - T1 = (x2, y2) - (x1, y1) = (x2 - x1, y2 - y1). Это есть координаты конца равного данному вектора, отложенного от начала координат – точки (0, 0), поэтому для задания вектора достаточно одной точки.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Например, на рисунке изображены две параллельные прямые и лежащие на них коллинеарные друг другу векторы AB, CD, EF и GH. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направления противоположны. Два ненулевых вектора называются неколлинеарными, если они лежат на непараллельных прямых.
Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рис. ниже). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе – знак минус.
Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью (см. рис. ниже); проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.
Длиной, или модулем, вектора AB называется расстояние между точками его начала и конца и обозначается так: |AB|. По теореме Пифагора длина находится как корень из суммы квадратов координат векторов (см. рис.)
Нулевой вектор - вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначается 0. Он коллинеарен любому вектору. Длина нулевого вектора равна нулю: |0| = 0. Нуль-вектор изображён на рисунке ниже.
Пусть даны два вектора: а и b. Для сложения этих векторов нужно от произвольной точки отложить вектор АВ, равный а, затем от точки В отложить вектор ВС, равный b и соединить точки А и С. Эта схема сложения называется правилом треугольника. Операция сложения двух векторов коммутативна, то есть а + b = b + а. Пусть вектор а имел координаты (x1, y1), вектор b – координаты (x2, y2), и а + b = с, то, исходя из правила треугольника, координаты вектора с равны суммам координат векторов а и b, т.е. с = а + b = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Используя правило треугольника можно складывать больше двух векторов, поочередно прибавляя каждый последующий вектор. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить вектор, равный первому вектору; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный второму вектору; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка В, а полученный вектор АВ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника. Операция сложения векторов ассоциативна, то есть векторы можно складывать в любом порядке.
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a и b есть сумма векторов а и -b.
Векторы можно умножать на действительные числа. Если вектор умножается на число k, то длина конечного вектора в |k| раз больше длины исходного вектора. Если k > 0, результатом будет вектор, сонаправленный данному. Если k < 0, вектор меняет свое направление на противоположное. Результатом умножения вектора на 0 будет нулевой вектор. При умножении вектора на число k обе координаты вектора увеличиваются в k раз. Таким образом, при умножении вектора v1 = (x, y) на число k, новые координаты вектора будут равняться v2 = (kx, ky).
