Точка пересечения прямых
Если прямые заданы уравнениями
Предположим, что две прямые заданы уравнениями:
\(y = ax+c\) и \( y = bx+d\)Если прямые пересекаются, в точке их пересечения \(y\) совпадает, получаем равенство:
\(ax+c = bx+d\)Так как нам нужно найти точку пересечения, преобразуем равенство с целью найти значение \(x\):
\(ax-bx = d-c\)Имеем:
\(x = (d-c)/(a-b)\)Подставим найденное значение \(x\) в уравнение любой из прямых и найдем значение \(y\):
\(y = ax+c\)Имеем точку пересечения двух прямых: \((x, y)\)
Если прямые заданы парами точек, лежащих на них
Рассмотрим пересечение двух прямых \(a\) и \(b\), где прямая \(a\) определена двумя точками:
\((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), а прямая \(b\) - точками \((x_3, y_3)\) и \((x_4, y_4)\):
Точка пересечения \((x, y)\) может быть найдена с помощью формул:
\[x = {(x_1y_2 - y_1x_2)(x_3 - x_4)-(x_1 - x_2)(x_3y_4 - y_3x_4) \over (x_1 - x_2)(y_3 - y_4)-(y_1 - y_2)(x_3 - x_4)}.\]\[y = {(x_1y_2 - y_1x_2)(y_3 - y_4)-(y_1 - y_2)(x_3y_4 - y_3x_4) \over (x_1 - x_2)(y_3 - y_4)-(y_1 - y_2)(x_3 - x_4)}.\]
Или с помощью вывода уравнения прямой :
Имеем две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). На прямой \(a\) заданы точки \(A\) и \(B\), на прямой \(b\) заданы точки \(C\) и \(D\), \(P\) - точка пересечения прямых.
Наша задача - вывести уравнения прямых, возьмем прямую \(a\), состоящюю из векторов \(AP\) и \(AB\).
Вектора лежат на одной прямой или паралелльны, когда они коллинеарны, то есть их векторное произведение равно нулю. Составляем уравнение:
\((x - x_1)(y_2 - y_1)-(y - y_1)(x_2 - x_1) = 0\)Преобразуем:
\((y_2 - y_1)x + (x_1 - x_2)y + (y_1 - y_2)x_1 + (x_2 - x_1)y_1= 0\)Имеем уравнение прямой вида
\(ax + by + c = 0\)Для двух прямых получаем уравнения:
\(ax_1 + by_1 = -c_1\)\(ax_2 + by_2 = -c_2\)
Решаем систему уравнений, получаем координаты точки \(P\) - \((x, y)\)