Площадь простого многоульника

Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. Пользователь перемножает соответствующие координаты и складывает, чтобы найти область, охватывающую многоугольник, и вычитает его из окружающего многоугольника, чтобы найти площадь многоугольника внутри. Это называется формулой шнурков, так как положительные и отрицательные слагаемые из перемножаемых координат располагаются на бумаге крест-накрест, как при завязке шнурков. Она находит применение в геодезии и лесном хозяйстве, среди других областей.

Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795. Она может быть проверена путем деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади верна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. \[S = \frac{1}{2}\left| {\left. {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{x_i}{y_{i + 1}} + {x_n}{y_1} - \sum\limits_{i = 2}^n {{x_i}{y_{i - 1}} - {x_1}{y_n}} } } \right|} \right.\]