Расположение точек на прямой, середина отрезка, деление в данном соотношении

Расположение точек на прямой

Пусть точки \(P_1\), \(P_2\), \(M\) - это точки, лежащие на одной прямой. Нам нужно определить, лежит точка \(M\) между точками \(P_1\) и \(P_2\), или же нет. Мы можем выяснить это с помощью скалярного произведения векторов: \[a · b = |a| · |b| · cos \, α\]

Если оно меньше нуля, то точка \(M\) лежит между точками \(P_1\) и \(P_2\), если больше - то нет. Почему же это так?

В этом случае угол \(α\) между векторами \(\overline{MP_1}\) и \(\overline{MP_2} = 180° ⇒ cos \, α = -1 \)

Значит, скалярное произведение меньше нуля.

В этом случае угол \(α\) между векторами \(\overline{MP_1}\) и \(\overline{MP_2} = 0° ⇒ cos \, α = 1 \)

Значит, скалярное произведение больше нуля.

Середина отрезка

Координата середины отрезка на координатной прямой

Пусть \(M(x)\) - середина отрезка с концами \(A(x_1)\) и \(B(x_2)\) (см. рисунок выше). Для определенности будем считать, что \(x_1 < x_2\).
Поскольку длина отрезка \(AM\) равна \(x - x_1\), а длина отрезка \(MB\) равна \(x_2 - x\), то \[x - x_1=x_2 - x\] Откуда находим: \[x=\frac{x_1+x_2}{2}\]

Координаты середины отрезка на плоскости

Чтобы найти середину отрезка по координатам, нужно вычислить сумму координат начала и конца отрезка и разделить на два. Например, пусть на плоскости заданы точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) отрезка \(AB\). Тогда координаты его середины в точке \(O\) находятся по этой формуле: \[O (x;y) = O \bigg(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\bigg) \]

Доказательство

Введем прямоугольную декартову систему координат \(О_{xy}\) на плоскости.

Пусть нам даны две точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) отрезка \(AB\) и известно, что точка \(M\) – его середина.
Нам нужно найти координаты \(x\) и \(y\) точки \(M\).

Проведем через точки \(A\), \(B\) и \(M\) прямые \(a\), \(b\) и \(m\), перпендикулярные к оси \(O_x\) и пересекающие её соответственно в точках \(A_1(x_1;0)\), \(B_1(x_2;0)\) и \(M_1(x;0)\).

Если точки \(A\) и \(B\) не лежат на прямой \(m\), то прямые \(a\), \(b\) и \(m\) параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой. Поскольку \(AM = MB\), то \(A_1M_1\) = \(M_1B_1\) (по т. Фалеса), т. е. точка \(M_1\) - середина отрезка \(A_1B_1\).

Поэтому (как мы доказали на координатной прямой):

\[x=\frac{x_1+x_2}{2}\] Это равенство верно и тогда, когда точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой m (в этом случае \(x_1 = x_2 = x\)). Справедливость равенства \[y=\frac{y_1+y_2}{2}\] доказывается аналогично.

Деление в данном соотношении

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат \(О_{xy}\) и заданы координаты двух несовпадающих точек \(A(x_a;y_a)\) и \(B(x_b;y_b)\). Нам требуется найти координаты \(x_c\) и \(y_c\) точки \(C\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(λ\), где \(λ\) - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(λ\)». Это выражение означает, что точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\) (является внутренней точкой отрезка \(AB\) и отношение длин отрезков \(AC\) и \(CB\) равно \(λ\) (то есть, выполняется равенство \(\frac{|AC|}{|CB|} = λ\)). Обратите внимание, что в этом случае точка \(A\) является как бы началом отрезка, а точка \(B\) – его концом. Если же сказано, что точка \(C\) делит отрезок \(BA\) (а не \(AB\)) в отношении \(λ\), то будет выполняться равенство \(\frac{|BC|}{|CA|} = λ\). Очевидно, что при \(λ = 1\) точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\).

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок \(AB\), точку \(C\) на нем и построим радиус-векторы точек \(A\), \(B\) и \(C\), а также векторы \(\overline{AC}\) и \(\overline{CB}\). Будем считать, что точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(λ\).

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, \(\overline{OA} \, = \, (x_a, y_a)\) и \(\overline{OB}\, =\, (x_b, y_b)\). Найдем координаты вектора \(\overline{OC}\), которые будут равны искомым координатам точки \(C\), делящей отрезок \(AB\) в заданном отношении \(λ\).

В силу операции сложения векторов можно записать равенства \(\overline{OC}\, =\, \overline{OA}\, + \,\overline{AC}\,\) и \(\,\overline{OB}\,= \,\overline{OC} \, + \, \overline{CB} \, \leftrightarrow \, \overline{CB}\, = \,\overline{OB}\, -\, \overline{OC}\). Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в соотношении \(λ\), то \(\frac{|AC|}{|CB|}=λ\) , откуда \(|AC|=λ⋅|CB|\).

Векторы \(\overline{AC}\,\) и \(\,\overline{CB}\) лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что \(λ>0\), поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство \(\overline{AC}\,=\,λ⋅ \,\overline{CB}\). Подставив в него \(\,\overline{CB}\,= \,\overline{OB} \, - \, \overline{OC}\), имеем \(\,\overline{AC}\,= \,λ⋅(\overline{OB} \, - \, \overline{OC})\). Тогда равенство \(\,\overline{OC}\,= \,\overline{OA} \, + \, \overline{AC}\) можно переписать как \(\,\overline{OC}\,= \,\overline{OA}\, + \,λ⋅(\overline{OB} \, - \, \overline{OC})\), откуда в силу свойств операций над векторами получаем \(\overline{OC}\, =\, \frac{1}{1+λ}⋅(\overline{OA}\, + \, λ⋅\overline{OB})\).

Осталось вычислить координаты вектора \(\overline{OC}\, =\, \frac{1}{1+λ}⋅(\overline{OA}\, + \, λ⋅\,\,\overline{OB})\), выполнив необходимые операции над векторами \(\,\overline{OA}\,\) и \(\,\overline{OB}\,\) в координатах. Так как \(\overline{OA} \, = \, (x_a, y_a)\) и \(\overline{OB} \, = \, (x_b, y_b)\), то \(\overline{OA} \, + \, λ \, ⋅ \, \overline{OB} = (x_a \, + \, λ⋅x_b, y_a \, + \, λ ⋅ y_b) \), следовательно, \[\overline{OC}\, =\, \frac{1}{1+λ}⋅\,\overline{OA}\, + \, λ⋅ \, \overline{OB}\,=\,(\frac{x_a\,+\,λ⋅x_b}{1+λ}, \frac{y_a\,+\,λ⋅y_b}{1+λ} )\]

Таким образом, на плоскости координаты точки \(C\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(λ\), находятся по \(\,x_c\,=\,\frac{x_a\,+\,λ⋅x_b}{1+λ}\) \(\) и \(\,y_c\,=\,\frac{y_a\,+\,λ⋅y_b}{1+λ}\) \(\).