Нормаль к прямой. Перпендикуляр из точки к прямой. Прямая, параллельная данной.
Нормаль к прямой
Нормаль — прямая, перпендикулярная касательному пространству (касательной прямой кривой, касательной, плоскости к поверхности и так далее).
Нормалью к прямой a называют прямую b, перпендикулярную прямой a.
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, определяющий прямую, перпендикулярную данной.
Таким образом, косинус угла между нормальным вектором и прямой должен быть равен нулю, т.к. cos90°=0, а значит, и скалярное произведение нормального вектора и вектора прямой также должно иметь нулевое значение (т.к. a·b=|a||b|cosυ, где υ - угол между векторами a и b).
Но этот способ подходит только для проверки перпендикулярности векторов; для построения перпендикулярных векторов удобнее пользоваться следующим способом:
если a⊥b, то b=(y a ;-x a ) или b=(-y a ;x a ).
Его действие наглядно видно на картинке выше.
Перпендикуляр из точки к прямой
Перпендикуляр из точки B, не лежащей на прямой a - это отрезок прямой, перпендикулярной прямой a, проходящей через точку B, соединяющий точку B с точкой на прямой a.
Чтобы построить перпендикуляр из точки к прямой, необходимо построить линию, перпендикулярную прямой; отрезок между точкой и прямой и будет являться перпендикуляром.
Наоборот, если нам надо проверить, является ли отрезок BC перпендикуляром к прямой a, то мы можем найти скалярное произведение векторов, определяющих BC и a; если их скалярное произведение окажется равным нулю, то BC - перпендикуляр к прямой a.
Как узнать длину перпендикуляра (расстояние от точки до прямой)?
Для этого надо знать координаты вышеупомянутой точки C и двух произвольных точек A и B, принадлежащих прямой a.
Площадь треугольника ABC посчитать двумя способами:
• Через векторное произведение: S ABC = AB×BC/2
• Через высоту и основание: S ABC = CH*AB/2
Таким образом, AB×BC/2 = AB*CH/2; CH = (AB×BC)/AB.
Прямая, параллельная данной
Проверить параллельность прямых можно с помощью векторов: векторное произведение коллинеарных (т.е. лежащих на одной или параллельных прямых) равно нулю; получается, что прямые параллельны, если вектор одной прямой равен или является обратным для вектора другой прямой.
С помощью этого можно также задать параллельную прямую, просто отпустив известный вектор из какой-либо точки.
