Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 варианта взаимного расположения точки и окружности:

• Прямая и окружность не имеют общих точек.
  В этом случае радиус окружности меньше, чем расстояние от центра окружности до прямой

  

• Прямая касается окружности.
  Если прямая касается окружности, то радиус окружности равен расстоянию от точки до прямой. В этом случае окружность имеет с прямой ровно 1 общую точку. Радиус окружности с концом в этой точке перпендикулярен прямой.

  

• Прямая пересекает окружность.
  Если прямая пересекает окружность, то радиус окружности меньше расстояния от точки до прямой - тогда окружность и прямая имеют 2 общие точки.

  

Определение взаимного положения окружности и прямой

Пусть \(x\), \(y\) - координаты центра окружности, \(r\) - ее радиус, \(a\), \(b\), и \(с\) - коэффиценты в уравнении прямой \(ax + by + c = 0\). Тогда расстояние от центра окружности до прямой:
\[l = {{\left|{ax + by + c} \right|} \over {\sqrt{a^2 + b^2}}} .\]

Остается сравнить полученное расстояние с радиусом окружности. Однако, чтобы избежать работы с вещественными числами лучше сравнивать их квадраты умноженные на знаменатель полученной дроби:
\((ax + by + c)^2 < (a^2 + b^2)r^2\) - прямая пересекает окружность
\((ax + by + c)^2 = (a^2 + b^2)r^2\) - Прямая касается окружности
\((ax + by + c)^2 > (a^2 + b^2)r^2\) - прямая и окружность не имеют общих точек