Векторное произведение

Общий случай

Рассмотрим «векторное» произведение двух векторов, определенное следующим образом: [a, b] = |a|⋅|b| ⋅ sin(φ), где φ - угол между векторами. Поскольку синус - нечетная функция, то в данном случае берется ориентированный угол от вектора a к вектору b, который может быть положительным, если направление вектора b получается из вектора a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки), и отрицательным - если поворот осуществляется в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

"Косое произведение"

Название «векторное» в данном случае - условное, на самом деле результатом такого произведения является число (скаляр), но данное произведение связано с настоящим векторным произведением в трехмерном пространстве. Также используется название «псевдоскалярное произведение» или «косое» произведение.

Выражение векторного произведения через координаты: [a ,b]=ax ⋅ by – ay⋅bx.

Свойства произведения

• Векторное произведение антикоммутативно:[a, b] = −[b, a].

• Векторное произведение положительно, если угол поворота от первого вектора ко второму — положителен, отрицательно — если угол отрицателен, равно нулю — если вектора коллинеарны.

• Векторное произведение линейно: [a + b, c] = [a, c]+[b, c], [k ⋅ a ,c]=k ⋅ [a, c]. Аналогичные утверждение верны и для второго аргумента векторного произведения.

Итог:

Векторное произведение необходимо использовать, когда нужно проверить два вектора (два отрезка, две прямые) на перпендикулярность или исследовать угол между векторами (является ли он острым или тупым).